Question

2．已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+1在（0，2）上具有單調(diào)性，λ＜0，求g（λ）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用配湊法進(jìn)行求解即可．
（2）求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，結(jié)合一元二次函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）∵f（x+1）=x+3a=x+1+3a-1，
∴f（x）=x+3a-1，
∵f（a）=3，∴f（a）=a+3a-1=4a-1=3，
得4a=4，則a=1，
即函數(shù)f（x）的解析式f（x）=x+2；
（2）g（x）=x•f（x）+λf（x）+1=x•（x+2）+λ（x+2）+1
=x²+（2+λ）x+2λ+1，
函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{2+λ}{2}$，
若函數(shù)g（x）在（0，2）上具有單調(diào)性，λ＜0，
則-$\frac{2+λ}{2}$≤0或-$\frac{2+λ}{2}$≥2，
即λ≥-2或λ≤-6，
∵λ＜0，
∴λ≤-6或-2≤λ＜0，
則g（λ）的取值范圍是λ≤-6或-2≤λ＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．