Question

7．已知數(shù)列{a }滿足a=$\frac{4}{3}$，a_n+1-1=a_n²-a_n （n∈N^*），則m=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$的整數(shù)部分是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先判斷數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，再根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用裂項(xiàng)求和即可得到m=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=3-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷出a₂₀₁₈＞2，問題得以解決

解答 解：∵a=$\frac{4}{3}$，a_n+1-1=a_n²-a_n （n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=a_n²+1＞0，
∴a_n+1＞a_n，
∴數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
由a_n+1-1=a_n²-a_n=a_n（a_n-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴m=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-1}$-$\frac{1}{{a}_{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$）=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$=3-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$，
由a=$\frac{4}{3}$＞1，則a_n+1-a_n=（a_n-1）²＞0，
∴a₂=1+$\frac{4}{9}$，a₃=1+$\frac{52}{81}$，a₄=1+$\frac{6916}{6561}$＞2，
…，
a₂₀₁₈＞2，
∴0＜$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$＜1，
∴2＜m＜3，
∴整數(shù)部分是2，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列與函數(shù)的特征，以及數(shù)列的遞推關(guān)系裂項(xiàng)求和，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題