Question

1．已知函數(shù)f（x）=（2ax²+bx+1）•e^-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若$a=\frac{1}{2}$，b≥0，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）內有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論b的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）解出b，問題轉化為e^x-2ax²-bx-1=0在（0，1）有解，設g（x）=e^x-2ax²-bx-1，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）若$a=\frac{1}{2}$，f（x）=（x²+bx+1）•e^-x，則f'（x）=-（x-1）[x-（1-b）]e^-x，
由f'（x）=0，得x=1或x=1-b，
①若1-b=1，即b=0時，f'（x）≤0，此時函數(shù)單調遞減，單調遞減區(qū)間為（-∞，+∞）；
②若1-b＜1，即b＞0時，由f'（x）＞0，得1-b＜x＜1；由f'（x）＜0得x＜1-b，或x＞1，
所以單調遞增區(qū)間為（1-b，1），單調遞減區(qū)間為（-∞，1-b），（1，+∞）．
（2）若f（1）=1，∴2a+b+1=e，則b=e-1-2a，
若方程f（x）=1在（0，1）內有解，即2ax²+bx+1=e^x在（0，1）內有解，
即e^x-2ax²-bx-1=0在（0，1）有解．
設g（x）=e^x-2ax²-bx-1，則g（x）在（0，1）內有零點，設x₀是g（x）在（0，1）內的一個零點，
因為g（0）=0，g（1）=0，所以g（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上不可能單調，
由g（x）=e^x-4ax-b，設h（x）=e^x-4ax-b，則h（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上存在零點，
即h（x）在（0，1）上至少有兩個零點，因為h'（x）=e^x-4a，
當$a≤\frac{1}{4}$時，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上遞增，不合題意；
當$a≥\frac{e}{4}$時，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）上遞減，不合題意；
當$\frac{1}{4}＜a＜\frac{e}{4}$時，令h'（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），
則h（x）在（0，ln（4a））上遞減，在（ln（4a），1）上遞增，
h（x）在（0，1）上存在最小值h[ln（4a）]．
若h（x）有兩個零點，則有h[ln（4a）]＜0，h（0）＞0，h（1）＞0．
所以h[ln（4a）]=6a-4alna+1-e，$\frac{1}{4}＜a＜\frac{e}{4}$，
設$φ（x）=\frac{3}{2}x-xlnx+1-e（1＜x＜e）$，則$φ'（x）=\frac{1}{2}-lnx$，令φ'（x）=0，得$x=\sqrt{e}$，
當$1＜x＜\sqrt{e}$時，φ'（x）＞0，此時函數(shù)φ（x）遞增；
當$\sqrt{e}＜x＜e$時，φ'（x）＜0，此時函數(shù)φ（x）遞減，
則$φ{（x）_{max}}=φ（\sqrt{e}）=\sqrt{e}+1-e＜0$，所以h[ln（4a）]＜0恒成立．
由h（0）=1-b=2a-e+2＞0，h（1）=e-4a-b=-2a+1＞0，所以$\frac{e-2}{2}＜a＜\frac{1}{2}$，
當$\frac{e-2}{2}＜a＜\frac{1}{2}$時，設h（x）的兩個零點為x₁，x₂，
則g（x）在（0，x₁）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減，在（x₂，1）上遞增，
則g（x₁）＞g（0）=0，g（x₂）＜g（1）=0，則g（x）在（x₁，x₂）內有零點，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是$（\frac{e-2}{2}，\frac{1}{2}）$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想、轉化思想，是一道綜合題．