Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓C₁上任意一點，|PF₁|²+|PF₂|²的最小值為8．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）設(shè)橢圓C₂：$\frac{{2{x^2}}}{a^2}+\frac{{2{y^2}}}{b^2}=1，Q（{{x_0}，{y_0}}）$為橢圓C₂上一點，過點Q的直線交橢圓C₁于A，B兩點，且Q為線段AB的中點，過O，Q兩點的直線交橢圓C₁于E，F(xiàn)兩點．
（i）求證：直線AB的方程為x₀x+2y₀y=2；
（ii）當(dāng)Q在橢圓C₂上移動時，四邊形AEBF的面積是否為定值？若是，求出該定值；不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓C₁上任意一點，|PF₁|²+|PF₂|²的最小值為8，列出方程，求出a，b，由此能求出橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，Q（x₀，y₀）為橢圓E上一點，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}$=1，利用點差法求出直線AB的方程為x₀x+2y₀y=2，由此能求出直線AB的方程．
（Ⅲ）聯(lián)立直線EF與橢圓C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}x-{x}_{0}y=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得E（$\sqrt{2}{x}_{0}$，$\sqrt{2}{y}_{0}$），F(xiàn)（-$\sqrt{2}{x}_{0}$，-$\sqrt{2}{y}_{0}$），聯(lián)立直線AB與橢圓C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+2{y}_{0}y=2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得：$2{x}^{2}-4{x}_{0}x+4-8{{y}_{0}}^{2}=0$，利用韋達(dá)定理求出|AB|=$\sqrt{8{{y}_{0}}^{2}+2{{x}_{0}}^{2}}$，點E（$\sqrt{2}{x}_{0}，\sqrt{2}{y}_{0}$）、F（-$\sqrt{2}{x}_{0}，-\sqrt{2}{y}_{0}$）到直線AB的距離為d₁，d₂，--由此能求出當(dāng)Q在橢圓C₂上移動時，四邊形AEBF的面積為定值4．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓C₁上任意一點，|PF₁|²+|PF₂|²的最小值為8．
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2b²，
∵P是橢圓C₁上任意一點，∴|PF₁|+|PF₂|=2a，
$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}{2}$≥（$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}$）²=a²，
∴2a²=8，a²=4，b²=2，
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）（i）證明：由（Ⅰ）知橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，Q（x₀，y₀）為橢圓E上一點，
$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}$=1，
當(dāng)y₀≠0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1，①}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}=1，②}\end{array}\right.$
②-①，整理，得：$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=-\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2（{y}_{2}+{y}_{1}）}$，
∵Q為線段AB的中點，∴$-\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2（{y}_{2}+{y}_{1}）}$=-$\frac{2{x}_{0}}{4{y}_{0}}$=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，
∴直線AB的斜率為$-\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，∴直線AB的方程為y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$（x-x₀），
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}$=1，化簡，得x₀x+2y₀y=2，
當(dāng)${y}_{0}=0，{x}_{0}=±\sqrt{2}$時，直線AB的方程也滿足x₀x+2y₀y=2，
綜上，直線AB的方程為x₀x+2y₀y=2．
（ii）直線EF的方程為y₀x-x₀y=0，
聯(lián)立直線EF與橢圓C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}x-{x}_{0}y=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
解得E（$\sqrt{2}{x}_{0}$，$\sqrt{2}{y}_{0}$），F(xiàn)（-$\sqrt{2}{x}_{0}$，-$\sqrt{2}{y}_{0}$），
聯(lián)立直線AB與橢圓C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+2{y}_{0}y=2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y，得：$2{x}^{2}-4{x}_{0}x+4-8{{y}_{0}}^{2}=0$，
x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=2-4y₀²，
|AB|=$\sqrt{1+（-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2{y}_{0}}）^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{\frac{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}{4{{y}_{0}}^{2}}}$•$\sqrt{4{{x}_{0}}^{2}-8+16{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{8{{y}_{0}}^{2}+2{{x}_{0}}^{2}}$，
設(shè)點E（$\sqrt{2}{x}_{0}，\sqrt{2}{y}_{0}$）、F（-$\sqrt{2}{x}_{0}，-\sqrt{2}{y}_{0}$）到直線AB的距離分別為d₁，d₂，
S_AEBF=S_△ABE+S_△ABF=$\frac{1}{2}|AB|（vfphthx_{1}+9x9dtft_{2}）$，
$pv5dr9h_{1}=\frac{|-2\sqrt{2}{{y}_{0}}^{2}+\sqrt{2}{{{x}_{0}}^{2}-2}_{\;}|}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=$\frac{|-\sqrt{2}（2{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}）-2|}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$，
$9h5bth9_{2}=\frac{|-2\sqrt{2}{{y}_{0}}^{2}-\sqrt{2}{{x}_{0}}^{2}-2|}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=$\frac{|-\sqrt{2}（2{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}）-2|}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$，
∴S_AEBF=$\frac{1}{2}|AB|（j9lzlxl_{1}+tz99vj9_{2}）=\frac{1}{2}\sqrt{8{{y}_{0}}^{2}+2{{x}_{0}}^{2}}$•=$\frac{2\sqrt{2}-2+2\sqrt{2}+2}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=4．
故當(dāng)Q在橢圓C₂上移動時，四邊形AEBF的面積為定值4．

點評 本題考查橢圓方程、兩線段和的取值范圍、橢圓性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．