Question

8．定義：如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），滿足f（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x₀而是它的一個(gè)均值點(diǎn)．
例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函數(shù)”，0就是它的均值點(diǎn)．給出以下命題：
①函數(shù)f（x）=sinx-1是[-π，π]上的“平均值函數(shù)”；
②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，則它的均值點(diǎn)x₀≤$\frac{a+b}{2}$；
③若函數(shù)f（x）=x²+mx-1是[-1，1]上的“平均值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m∈（-2，0）；
④若f（x）=lnx是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數(shù)”，x₀是它的一個(gè)均值點(diǎn)，則lnx₀＜$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$．
其中的真命題有①③④（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 直接利用定義判斷①；利用反例判斷②；利用定義推出m的范圍判斷③；利用分析法直接證明結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷④．

解答 解：①∵$\frac{f（π）-f（-π）}{2π}$=0，而f（$\frac{π}{2}$）=0，
∴f（x）=sinx-1是[-π，π]上的“平均值函數(shù)”，故①正確；
②若f（x）=0，則$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=0，顯然（a，b）上的任意1個(gè)數(shù)都是f（x）的均值點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
③若函數(shù)f（x）=x²+mx-1是[-1，1]上的“平均值函數(shù)”，
則區(qū)間（-1，1）上存在x₀使得f（x₀）=$\frac{f（1）-f（-1）}{2}$=m，
即x₀²+mx₀-1=m，∴m=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-1}{1-{x}_{0}}$=-x₀-1，
∵x₀∈（-1，1），∴m∈（-2，0）．故③正確；
④若f（x）=lnx是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數(shù)”，x₀是它的一個(gè)均值點(diǎn)，
∴l(xiāng)nx₀=$\frac{lnb-lna}{b-a}$=$\frac{ln\frac{a}}{b-a}$，則lnx₀-$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$=$\frac{ln\frac{a}}{b-a}$-$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$．
令$\sqrt{\frac{a}}$=t，則b=at²（t＞1），
∴$\frac{ln\frac{a}}{b-a}$-$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$=$\frac{ln{t}^{2}}{a（{t}^{2}-1）}$-$\frac{1}{at}$=$\frac{1}{a}$（$\frac{ln{t}^{2}}{{t}^{2}-1}-\frac{1}{t}$）=$\frac{1}{a{t}^{2}（{t}^{2}-1）}$（2lnt-t+$\frac{1}{t}$），
令g（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$，則g′（t）=$\frac{2}{t}-1-\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{2t-{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$=$\frac{-（t-1）^{2}}{{t}^{2}}$＜0，
∴g（t）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴g（t）＜g（1）=0，
∴$\frac{ln\frac{a}}{b-a}$-$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$＜0，即lnx₀＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及分析法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．