Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x+ae^-x（a∈R），其導(dǎo)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．若曲線y=f（x）的一條切線的斜率為$\frac{3}{2}$，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為$（{ln2，\frac{5}{2}}）$．

Answer 1

分析 已知切線的斜率，要求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)必須先求出切線的方程，我們可從奇函數(shù)入手求出切線的方程．

解答 解：對f（x）=e^x+a•e^-x求導(dǎo)得
f′（x）=e^x-ae^-x
又f′（x）是奇函數(shù)，故
f′（0）=1-a=0
解得a=1，
故有f′（x）=e^x-e^-x，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則f′（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-${e}^{-{x}_{0}}$=$\frac{3}{2}$，
得${e}^{{x}_{0}}$=2或${e}^{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{2}$（舍去），
得x₀=ln2．
∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為$（{ln2，\frac{5}{2}}）$．
故答案為：$（{ln2，\frac{5}{2}}）$．

點(diǎn)評 熟悉奇函數(shù)的性質(zhì)是求解此題的關(guān)鍵，奇函數(shù)定義域若包含x=0，則一定過原點(diǎn)．