Question

17．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，若E為AB的中點，則點E到面ACD₁的距離是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點E到面ACD₁的距離．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，0），
設(shè)平面ACD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，2），
∴點E到面ACD₁的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．