2.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥底面ABC,點(diǎn)A在平面A1BC中的投影為線(xiàn)段A1B上的點(diǎn)D.
(1)求證:BC⊥A1B
(2)點(diǎn)P為AC上一點(diǎn),若AP=PC,AD=$\sqrt{3}$,AB=BC=2,求二面角P-A1B-C的平面角的余弦值.

分析 (1)由已知A1A⊥平面ABC,可得A1A⊥BC,再由AD⊥平面A1BC,得AD⊥BC.然后利用線(xiàn)面垂直的判定得BC⊥平面A1AB,從而得到BC⊥A1B;
(2)由(1)可得BC⊥平面A1AB,AB?平面A1AB,從而B(niǎo)C⊥AB,如圖,以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,求出平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角P-A1B-C的平面角的余弦值.

解答 (1)證明:如圖,∵A1A⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴A1A⊥BC,
∵AD⊥平面A1BC,且BC?平面A1BC,
∴AD⊥BC.又AA1?平面A1AB,
AD?平面A1AB,A1A∩AD=A,
∴BC⊥平面A1AB,
又A1B?平面A1BC,
∴BC⊥A1B;
(2)解:由(1)可得BC⊥平面A1AB,AB?平面A1AB,從而B(niǎo)C⊥AB,如圖,以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,
在Rt△ABD中,AD=$\sqrt{3}$,AB=2,sin∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,∠ABD=60°,
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2$\sqrt{3}$,
則B(0,0,0),A(0,2,0),P(1,1,0),A1(0,2,2$\sqrt{3}$),
$\overrightarrow{BP}$=(1,1,0),$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=(0,2,2$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{BC}$=(2,0,0),
設(shè)平面PA1B的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),則有$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$,
可得$\overrightarrow{n}$=(3,-3,$\sqrt{3}$).
設(shè)面A1BC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),則$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{2b+2\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$,
即$\overrightarrow{m}$=(0,-3,$\sqrt{3}$),
則二面角P-A1B平面角的余弦值為$\frac{9+3}{\sqrt{9+9+3}•\sqrt{9+3}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線(xiàn)面關(guān)系、二面角的度量等知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,是中檔題.

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