Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^2x（e^2x-4a）+x（x-2a）+5a²，若?x₀∈R，使得f（x₀）≤$\frac{1}{5}$成立，則實(shí)數(shù)a的值為$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 把函數(shù)看作是動(dòng)點(diǎn)M（x，e^2x）與動(dòng)點(diǎn)N（a，2a）之間距離的平方，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=e^2x上與直線y=2x平行的切線的切點(diǎn)，得到曲線上點(diǎn)到直線距離的最小值，結(jié)合題意可得只有切點(diǎn)到直線距離的平方等于$\frac{1}{5}$，然后由兩直線斜率的關(guān)系列式求得實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^2x（e^2x-4a）+x（x-2a）+5a²=（e^2x-2a）²+（x-a）²，
函數(shù)f（x）可以看作是動(dòng)點(diǎn)M（x，e^2x）與動(dòng)點(diǎn)N（a，2a）之間距離的平方，
動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)y=e^2x的圖象上，N在直線y=2x的圖象上，
問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，
由y=e^2x得，y'=2e^2x=2，解得x=0，
∴曲線上點(diǎn)M（0，1）到直線y=2x的距離最小，
最小距離d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
則f（x）≥$\frac{1}{5}$，
根據(jù)題意，要使f（x₀）≤$\frac{1}{5}$，
則f（x₀）=$\frac{1}{5}$，此時(shí)N恰好為垂足，
由k_MN=$\frac{2a-1}{a}$=-$\frac{1}{2}$，
解得a=$\frac{2}{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線的斜率，考查了數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．