Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+x+lnx，a∈R．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行，求此切線方程；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，令函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2b}$x²-x（b∈R且b≠0），求函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行，求出a，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求此切線方程；
（2）分類討論，求導(dǎo)數(shù)，利用極值的定義，可得函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)．

解答 解：（1）由題意知：f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+1+$\frac{1}{x}$，
∴k=f′（1）=-a+2=-$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{5}{2}$，切點(diǎn)為（1，$\frac{7}{2}$），
∴此切線方程為y-$\frac{7}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即x+2y-8=0．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=x+lnx-$\frac{1}{2b}$x²-x=lnx-$\frac{1}{2b}$x²，定義域?yàn)閤∈（0，+∞），
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{x}$=$\frac{b{-x}^{2}}{bx}$，
①當(dāng)b＜0時(shí)，∴g′（x）＞0恒成立，
∴g（x）在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（x）在定義域內(nèi)無極值； 
②當(dāng)b＞0時(shí)，令g′（x）=0，∴x=$\sqrt$或x=-$\sqrt$（舍去），

x	（0，$\sqrt$）	$\sqrt$	（$\sqrt$，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↑	極大值	↓

∴g（x）的極大值點(diǎn)為$\sqrt$，無極小值點(diǎn)； 
綜上：當(dāng)b＜0時(shí)，g（x）在定義域內(nèi)無極值；
當(dāng)b＞0時(shí)，g（x）的極大值點(diǎn)為$\sqrt$，無極小值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力．