Question

18．已知函數(shù)$y=b+{a^{{x^2}+2x}}$（a，b是常數(shù)，a＞0且a≠1）在區(qū)間$[{-\frac{3}{2}，0}]$上有最大值3，最小值為$\frac{5}{2}$．試求a，b的值．

Answer 1

分析 先將x²+2x看作一個整體，求出其范圍，再對a分0＜a＜1和a＞1兩種情況進行討論確定函數(shù)$y=b+{a^{{x^2}+2x}}$取最小值和最大值的情況，列出方程組求解．

解答 解：令t=x²+2x=x（x+2），∵$x∈[{-\frac{3}{2}，0}]$∴t∈[-1，0]
當0＜a＜1時，a⁰≤a^t≤a^-1，∴$1+b≤y≤b+\frac{1}{a}$
依題意得$\left\{\begin{array}{l}b+1=\frac{5}{2}\\ b+\frac{1}{a}=3\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{3}\\ b=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
當a＞1時，a^-1≤a^t≤a⁰，∴$b+\frac{1}{a}≤y≤1+b$
依題意得$\left\{\begin{array}{l}b+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}\\ b+1=3\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=2\end{array}\right.$
綜上知，a=2，b=2或$a=\frac{2}{3}，b=\frac{3}{2}$

點評 本題考查函數(shù)的最值以及應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．