Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=2，已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），則（|PA|-|PB|）²（　�。�

• A． 為定值8
• B． 為定值4
• C． 為定值2
• D． 不是定值

Answer 1

分析 可畫出圖形，并設(shè)P（x，y），Q（x，-y），從而由$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=2$可得到y(tǒng)²=x²-2，進(jìn)而得出$x≥\sqrt{2}，或x≤-\sqrt{2}$，從而求出$|\overrightarrow{PA}|=\sqrt{2}|x+1|，|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{2}|x-1|$，這樣便可得到$|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|=\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}}&{x≥\sqrt{2}}\\{-2\sqrt{2}}&{x≤-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，這樣便可得出正確選項(xiàng)．

解答 解：如圖，設(shè)P（x，y），Q（x，-y），則：
$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x}^{2}-{y}^{2}=2$；
∴y²=x²-2，$x≥\sqrt{2}$，或$x≤-\sqrt{2}$；
∴$|\overrightarrow{PA}|=\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x+2）^{2}+{x}^{2}-2}$=$\sqrt{2}|x+1|$，$|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{（x-2）^{2}+{x}^{2}-2}=\sqrt{2}|x-1|$；
∴$|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{2}（|x+1|-|x-1|）$=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}}&{x≥\sqrt{2}}\\{-2\sqrt{2}}&{x≤-\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
∴$（|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|）^{2}$=8．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)解決問題的方法，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，以及求向量的長度，絕對(duì)值的處理方法．