Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，它的前n項(xiàng)和為S_n，若S₅=25，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及前n項(xiàng)和S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{4{S}_{n}-1}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列方程組求出首項(xiàng)和公差即可得出a_n，S_n；
（2）使用裂項(xiàng)法求和．

解答 解：（1）∵S₅=25，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+10d=25}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+4d）=（{a}_{1}+d）^{2}}\end{array}\right.$，
又d≠0，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
S_n=$\frac{1+2n-1}{2}•n$=n²．
（2）b_n=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$-$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，裂項(xiàng)法數(shù)列求和，屬于中檔題．