Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PC=$\sqrt{13}$，M在PC上，且PA∥面BDM．
（1）求直線PC與平面BDM所成角的正弦值；
（2）求平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 作AD邊上的高PO，由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得PO⊥面ABCD，再由ABCD是矩形，得到CD⊥PD，求解直角三角形可得CD．以AD中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，AD的垂直平分線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}$．
（1）設(shè)PC與面BDM所成的角為θ，由sinθ=|$\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{n}|}$求得直線PC與平面BDM所成角的正弦值．
（2）求出平面PAD的法向量$\overrightarrow{CD}=（0，-3，0）$，由兩平面法向量所成角的余弦值求得平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大�。�

解答 解：∵面PAD⊥面ABCD，△PAD為正三角形，作AD邊上的高PO，
∵面PAD∩面ABCD=AD，由面面垂直的性質(zhì)定理，得PO⊥面ABCD，
又ABCD是矩形，同理可得CD⊥面PAD，知CD⊥PD，
∵PC=$\sqrt{13}$，PD=2，∴CD=3．
以AD中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，AD的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則P（0，0，$\sqrt{3}$），A（1，0，0），B（1，3，0），C（-1，3，0），D（-1，0，0），
連結(jié)AC交BD于點(diǎn)N，由PA∥面MBD，面APC∩面MBD=MN，
∴MN∥PA，又N是AC的中點(diǎn)，
∴M是PC的中點(diǎn)，則M（$-\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)面BDM的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
$\overrightarrow{BD}=（-2，-3，0）$，$\overrightarrow{MD}=（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-2x-3y=0}\\{\frac{x}{2}+\frac{3y}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，解得y=-$\frac{2}{3}$，z=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，得$\overrightarrow{n}=（1，-\frac{2}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}）$．
（1）設(shè)PC與面BDM所成的角為θ，則$sinθ=|\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}|=\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∴直線PC與平面BDM所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
（2）面PAD的法向量為向量$\overrightarrow{CD}=（0，-3，0）$，設(shè)面BDM與面PAD所成的銳二面角為φ，
則cosφ=$|\frac{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{n}|}|=\frac{1}{2}$，
故平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大小為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角與二面角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求解線面角及二面角，關(guān)鍵是建立正確的空間直角坐標(biāo)系，屬中檔題．