Question

9．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，以M（1，0）為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線$x-y+\sqrt{2}-1=0$相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)N（3，2），過點(diǎn)M任作直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線AN，BN的斜率分別為k₁，k₂，請問 k₁+k₂是否為定值？如果是求出該值，如果不是說明理由．

Answer 1

分析 （1）由離心率關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離公式求得a和b的值，求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)斜率不存在時，求得A和B的坐標(biāo)，求得k₁，k₂，即可求得k₁+k₂的值，當(dāng)斜率不存在時，設(shè)直線 l：y=k（x-1），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式即可求得k₁+k₂是否為定值．

解答 解：（1）橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，則a²=$\frac{3}{2}$c²，
圓（x-1）²+y²=b²與直線$x-y+\sqrt{2}-1=0$相切，
則圓心（1，0）到直線$x-y+\sqrt{2}-1=0$的距離b=d=$\frac{丨1-0+\sqrt{2}-1丨}{\sqrt{1+（-1）^{2}}}$=1，
即b=1，a²=3．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）①當(dāng)直線斜率不存在時，由 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x=1，y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
不妨設(shè) A（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$ ），
由k₁+k₂=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}-2}{1-3}$+$\frac{-\frac{\sqrt{6}}{3}-2}{1-3}$=2，
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），設(shè)直線 l：y=k（x-1），
聯(lián)立橢圓整理得：（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$，
k₁+k₂=$\frac{2-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$+$\frac{2-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$=$\frac{[2-k（{x}_{1}-1）]（3-{x}_{2}）+[2-k（{x}_{2}-1）]（3-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（4k+2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+6k+12}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$，
=$\frac{2（12{k}^{2}+6）}{12{k}^{2}+6}$=2，
∴k₁+k₂是否為定值2．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，韋達(dá)定理及直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．