Question

1．設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）若a=3，求f（2）的值；    
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）代值計算即可，
（2）分x≥a和x＜a兩種情況來討論去絕對值，再對每一段分別求最小值，借助二次函數(shù)的對稱軸及單調性．最后綜合即可．

解答 解：（1）當a=3時，f（x）=2x²+（x-3）|x-3|，
∴f（2）=2×4+（2-3）×|2-3|=8-1=7，
（2）當x≥a時，f（x）=3x²-2ax+a²，∴f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{f（a），a≥0}\\{f（\frac{a}{3}），a＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}，a≥0}\\{\frac{2}{3}{a}^{2}，a＜0}\end{array}\right.$，
如圖所示：

當x≤a時，f（x）=x²+2ax-a²，
∴f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{f（-a），a≥0}\\{f（a），a＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{-2{a}^{2}，a≥0}\\{2{a}^{2}，a＜0}\end{array}\right.$．

綜上所述：f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-2{a}^{2}，a≥0}\\{\frac{2}{3}{a}^{2}，a＜0}\end{array}\right.$

點評 本題考查了分段函數(shù)的最值問題．分段函數(shù)的最值的求法是先對每一段分別求最值，最后綜合最大的為整個函數(shù)的最大值，最小的為整個函數(shù)的最小值．