Question

14．已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為1，過拋物線C上的點A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，若△AMF與△AOF（其中O為坐標(biāo)原點）的面積之比為3：1，則點A的坐標(biāo)為（　　）

• A． （2，2$\sqrt{2}$）
• B． （4，4）
• C． （4，±4）
• D． （2，±2$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 設(shè)A（$\frac{1}{4}$t²，t），根據(jù)拋物線的定義算出|AM|=$\frac{1}{4}$t²+1，而△AMF與△AOF的高相等，故面積比等于|AM|：|OF|=3，由此建立關(guān)于t的方程，解之得t=$±2\sqrt{2}$，即可得到點A的坐標(biāo)．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點為F（1，0），
準(zhǔn)線l方程為x=-1．設(shè)A（$\frac{1}{4}$t²，t），則
根據(jù)拋物線的定義，得|AM|=$\frac{1}{4}$t²+1，
∵△AMF與△AOF（其中O為坐標(biāo)原點）的面積之比為3：1，
∴|AM|：|OF|=$\frac{1}{4}$t²+1=3，可得t²=8，解之得t=$±2\sqrt{2}$
∴點A的坐標(biāo)為（2，$±2\sqrt{2}$）．
故選D．

點評 本題給出拋物線中的三角形面積比，求點的坐標(biāo)，著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的知識，屬于中檔題．