Question

6．己知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)（5，0）是E的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為（9，$\frac{9}{2}$），則E的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 利用點(diǎn)差法求出直線AB的斜率，再根據(jù)F（5，0）是E的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為（9，$\frac{9}{2}$），可建立方程組，從而可求雙曲線的方程．

解答 解：由題意，不妨設(shè)雙曲線的方程為E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∵F（5，0）是E的焦點(diǎn)，∴c=5，∴a²+b²=25．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則有：x₁+x₂=18，y₁+y₂=9，
A，B代入相減可得AB的斜率$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$，
∵AB的斜率是$\frac{\frac{9}{2}-0}{9-5}$=$\frac{9}{8}$
∴$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{9}{8}$，即16b²=9a²
將16b²=9a²代入a²+b²=25，可得a²=16，b²=9，
∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)差法解決弦的中點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)差法求出直線AB的斜率．