Question

9．某校開設(shè)的校本課程分別有人文科學(xué)、自然科學(xué)、藝術(shù)體育三個(gè)課程類別，每種課程類別開設(shè)課程數(shù)及學(xué)分設(shè)定如下表所示：

	人文科學(xué)類	自然科學(xué)類	藝術(shù)體育類
課程門數(shù)	4	4	2
每門課程學(xué)分	2	3	1

學(xué)校要求學(xué)生在高中三年內(nèi)從中選修3門課程，假設(shè)學(xué)生選修每門課程的機(jī)會(huì)均等．
（Ⅰ）甲至少選1門藝術(shù)體育類課程，同時(shí)乙至多選1門自然科學(xué)類課程的概率為多少？
（Ⅱ）求甲選的3門課程正好是7學(xué)分的概率；
（Ⅲ）設(shè)甲所選3門課程的學(xué)分?jǐn)?shù)為X，寫出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）利用互斥事件與互相獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．
（II）甲選課程的學(xué)分可能為（3，3，1），（3，2，2），利用互斥事件與互相獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．
（III）X的可能取值為4，5，6，7，8，9．利用互斥事件與互相獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)甲至少選一門藝術(shù)體育類課程的事件為A，$P（A）=\frac{C_2^1C_8^2+C_2^2C_8^1}{{C_{10}^3}}=\frac{8}{15}$；
乙至多選一門自然科學(xué)類課程的事件為B，$P（B）=\frac{C_4^1C_6^2+C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{2}{3}$；
則所求概率為$P（A∩B）=P（A）•P（B）=\frac{8}{15}×\frac{2}{3}=\frac{16}{45}$-----------------------（4分）
（Ⅱ）甲選課程的學(xué)分可能為（3，3，1），（3，2，2），
所以甲選課程的學(xué)分正好為7學(xué)分的概率為$P=\frac{C_4^2C_2^1+C_4^1C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}$-----------------（7分）
（Ⅲ）X的可能取值為4，5，6，7，8，9----------------------（8分）$P（X=4）=\frac{C_2^2C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$；           $P（X=5）=\frac{C_2^2C_4^1+C_4^2C_2^1}{{C_{10}^3}}=\frac{2}{15}$；$P（X=6）=\frac{C_2^1C_4^1C_4^1+C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}$；      $P（X=7）=\frac{3}{10}$；$P（X=8）=\frac{C_4^2C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{5}$；          $P（X=9）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$；
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	4	5	6	7	8	9
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{30}$

----------------------（10分）
所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望$Eξ=4×\frac{1}{30}+5×\frac{2}{15}+6×\frac{3}{10}+7×\frac{3}{10}+8×\frac{1}{5}+9×\frac{1}{30}=\frac{33}{5}$-----------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了互斥事件與互相獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及其隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．