Question

4．已知$n=\int\begin{array}{l}{e^6}\\ 1\end{array}\frac{1}{x}dx$，那么${（\sqrt{x}-\frac{5}{x}）^n}$的展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項的系數(shù)為-30．

Answer 1

分析 由定積分求出n=6，從而T_r+1=（-5）^6-r${C}_{6}^{r}$${x}^{\frac{3}{2}r-6}$，令$\frac{3}{2}r-6=\frac{3}{2}$，解得r=5，由此能求出${（\sqrt{x}-\frac{5}{x}）^n}$的展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項的系數(shù)．

解答 解：∵$n=\int\begin{array}{l}{e^6}\\ 1\end{array}\frac{1}{x}dx$=（lnx）${|}_{1}^{{e}^{6}}$=lne⁶-ln1=6，
∴${（\sqrt{x}-\frac{5}{x}）^n}$=${（\sqrt{x}-\frac{5}{x}）^6}$，
T_r+1=${C}_{6}^{r}（\sqrt{x}）^{r}（-\frac{5}{x}）^{6-r}$=（-5）^6-r${C}_{6}^{r}$${x}^{\frac{3}{2}r-6}$，
令$\frac{3}{2}r-6=\frac{3}{2}$，解得r=5，
∴${（\sqrt{x}-\frac{5}{x}）^n}$的展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項的系數(shù)為：${（-5）^{1}C}_{6}^{5}$=-30．
故答案為：-30．

點評 本題考查展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項的系數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意定積分、函數(shù)性質的合理運用．