3.在公差不為0的等差數(shù)列{an}中,a3+a10=15,且a2,a5,a11成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

分析 (1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,并由條件確定d的范圍,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)、以及題意列出關(guān)于首項和公差的方程組,求出公差和首項后代入等差數(shù)列的通項公式化簡即可;
(2)把(1)求出的an代入bn,再求出bn的表達式,然后由裂項相消法來求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

解答 解:(1)設(shè)正項等差數(shù)列{an}的公差為d,則d≠0,
由a3+a10=15,且a2,a5,a11成等比數(shù)列得,
$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+11d=15①\\}\\{({a}_{1}+4d)^{2}=({a}_{1}+d)({a}_{1}+10d)②}\end{array}\right.$,
②化為6d2-3da1=0,
因為d≠0,
所以a1=2d,代入①解得,
d=1,則a1=2,
所以,an=a1+(n-1)•d=n+1;
(2)由(1)知,an=n+1,則
bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$,
所以Sn=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2(n+2)}$,
即Sn=$\frac{n}{2(n+2)}$.

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì),此題的關(guān)鍵是根據(jù)條件和公式列出方程組,考查了基礎(chǔ)知識和運算能力.

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