Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-2}{x+2}$e^x，g（x）=2lnx-ax（a∈R）
（1）討論f（x）的單調(diào)性； 
（2）證明：當(dāng)b∈[0，1）時(shí)．函數(shù)h（x）=$\frac{{e}^{x}-bx-b}{{x}^{2}}$（x＞0）有最小值，記h（x）的最小值為φ（b），求φ（b）的值域； 
（3）若g（x）存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），求a的取值范圍，并比較g′（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$）與0的大小．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域，把原函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0可得f（x）的單調(diào)性； 
（2）求出h′（x）由（1）知，f（x）+b=$\frac{x-2}{x+2}{e}^{x}+b$單調(diào)遞增，又由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得存在唯一t∈（0，2]，使得h′（t）=f（t）+b=0，則x∈（0，t）時(shí)，h′（t）＜0，h（x）遞減，x∈（t，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增．求出函數(shù)最小值，再由最小值為關(guān)于t的增函數(shù)可得φ（b）的值域； 
（3）定義域?yàn)椋?，+∞），g′（x）=$\frac{2}{x}-a=\frac{2-ax}{x}$，當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）在（0，+∞）上遞增，不合題意；當(dāng)a＞0時(shí)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求得$g（x）_{max}=g（\frac{2}{a}）$．
設(shè)F（x）=g（x）-g（$\frac{4}{a}-x$），求導(dǎo)得其單調(diào)性，得到g（x）＜g（$\frac{4}{a}-x$）．可得g（x₂）=g（x₁）＜g（$\frac{4}{a}-{x}_{1}$）．進(jìn)一步得到x₁+x₂＞$\frac{4}{a}$，即$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$$＞\frac{2}{a}$，可得g′（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$）＜0．

解答 （1）解：f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（-2，+∞），
f′（x）=$\frac{（x-1）（x+2）{e}^{x}-（x-2）{e}^{x}}{（x+2）^{2}}=\frac{{x}^{2}{e}^{x}}{（x+2）^{2}}≥0$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0，∴f（x）在（-∞，-2），（-2，+∞）單調(diào)遞增；
（2）證明：h′（x）=$\frac{（{x}^{2}-2x）{e}^{x}+（{x}^{2}+2x）b}{{x}^{4}}=\frac{（x-2）{e}^{x}+（x+2）b}{{x}^{3}}$=$\frac{（x+2）（\frac{x-2}{x+2}{e}^{x}+b）}{{x}^{3}}$．
由（1）知，f（x）+b=$\frac{x-2}{x+2}{e}^{x}+b$單調(diào)遞增，
對任意b∈[0，1），f（0）+b=-1+b＜0，f（2）+b=b≥0，
因此，存在唯一t∈（0，2]，使得h′（t）=f（t）+b=0，
當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，h′（t）＜0，h（x）遞減，當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增．
∴h（x）有最小值φ（b）=h（t）=$\frac{{e}^{t}-bt-b}{{t}^{2}}=\frac{{e}^{t}}{t+2}$．
而$（\frac{{e}^{t}}{t+2}）′=\frac{{e}^{t}（t+1）}{（t+2）^{2}}$＞0，∴h（t）=$\frac{{e}^{t}}{t+2}$在（0，2]上遞增．
∴h（0）＜h（t）≤h（2），即h（a）的值域?yàn)椋?\frac{1}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{4}$]；
（3）解：定義域?yàn)椋?，+∞），g′（x）=$\frac{2}{x}-a=\frac{2-ax}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）在（0，+∞）上遞增，不合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在（0，$\frac{2}{a}$）上遞增，在（$\frac{2}{a}$，+∞）上遞減，
且當(dāng)x→0⁺時(shí)，g（x）→-∞，x→+∞時(shí)，g（x）→-∞．
∴$g（x）_{max}=g（\frac{2}{a}）$＞0，0＜a＜$\frac{2}{e}$．
設(shè)F（x）=g（x）-g（$\frac{4}{a}-x$），F(xiàn)′（x）=$\frac{2}{x}+\frac{2}{\frac{4}{a}-x}-2a=\frac{\frac{8}{a}}{x（\frac{4}{a}-x）}-2a≥0$．
∴F（x）在（0，$\frac{4}{a}$）上遞增，F(xiàn)（x）＜F（$\frac{2}{a}$）=0，即g（x）＜g（$\frac{4}{a}-x$）．
∴g（x₂）=g（x₁）＜g（$\frac{4}{a}-{x}_{1}$）．
又x₁＜$\frac{2}{a}$＜x₂，∴x₂，$\frac{4}{a}-{x}_{1}$＞$\frac{2}{a}$，且在（$\frac{2}{a}，+∞$）上單調(diào)遞減，
∴x₂＞$\frac{4}{a}-{x}_{1}$，即x₁+x₂＞$\frac{4}{a}$，$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$$＞\frac{2}{a}$，
∴g′（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$）＜0．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，是壓軸題．