Question

15．（1）解不等式$\frac{x+5}{{{{（x-1）}^2}}}＞2$；
（2）若不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）的解集為R，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將原不等式化簡(jiǎn)變形可得2x²-5x-3＜0，且x-1≠0，再由二次不等式的解法，即可得到所求解集；
（2）討論二次項(xiàng)的系數(shù)和判別式的符號(hào)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和不等式的解法，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：（1）不等式$\frac{x+5}{{{{（x-1）}^2}}}＞2$，
等價(jià)為$\frac{x+5}{（x-1）^{2}}$-2＞0，
即為$\frac{2{x}^{2}-5x-3}{（x-1）^{2}}$＜0，
可得2x²-5x-3＜0，且x-1≠0，
解得-$\frac{1}{2}$＜x＜3且x≠1，
則原不等式的解集為{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜3且x≠1}；
（2）不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）的解集為R，
當(dāng)k＜0時(shí)，判別式△＜0，
即有4-24k²＜0，即為k＞$\frac{\sqrt{6}}{6}$或k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
則k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
當(dāng)k＞0時(shí)，原不等式的解集不為R．
綜上可得k的取值范圍為（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分式不等式的解法，注意等價(jià)變形，考查二次不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意討論二次項(xiàng)的系數(shù)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．