Question

10．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x+a（a∈R，a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)的最小正周期和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最小值，即得到a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x+a（a∈R，a為常數(shù)）．\
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+cos2x+a
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a
（1）∴函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）由f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，
可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值為2×$（-\frac{1}{2}）$+a=a-1．
∴a-1=-2，
故得a=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．