Question

18．已知函數(shù)f（x）=（x+a）e^x（x＞-3），其中a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)A（0，a）處的切線l與直線y=|2a-2|x平行，求l的方程；
（2）討論函數(shù)y=f（x）．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，求出z，再求l的方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．．

解答 解：（1）∵f'（x）=（x+a+1）e^x，…（1分）
∵f'（0）=a+1=|2a-2|，∴a=3或$\frac{1}{3}$…（3分）
當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=（x+3）e^x，f（0）=3，∴l(xiāng)的方程為：y=4x+3…（5分）
當(dāng)$a=\frac{1}{3}$時(shí)，$f（x）=（{x+\frac{1}{3}}）{e^x}，f（0）=\frac{1}{3}$，∴l(xiāng)的方程為：$y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$…（7分）
（2）令f'（x）=（x+a+1）e^x=0得x=-a-1，
當(dāng)-a-1≤-3，即a≥2時(shí)，f'（x）=（x+a+1）e^x＞0，f（x）在（-3，+∞）上遞增…（9分）
當(dāng)-a-1＞-3即a＜2時(shí)，令f'（x）＞0得x＞-a-1，f（x）遞增；令f'（x）＜0得-3＜x＜-a-1，f（x）遞減，
綜上所述，當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-a-1，+∞），減區(qū)間為（-3，-a-1）；
當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）在（-3，+∞）上遞增，…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單調(diào)性，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．