Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx，（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與直線y=0在原點(diǎn)處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為3，則a的值為$-\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 題目中給出了函數(shù)圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積，所以我們可以從定積分著手，求出函數(shù)以及函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，建立等式求解參數(shù)．

解答 解：由已知對(duì)方程求導(dǎo)，得：f′（x）=3x²+2ax+b．
由題意直線y=0在原點(diǎn)處與函數(shù)圖象相切，故f′（0）=0，
代入方程可得b=0．
故方程可以繼續(xù)化簡為：f（x）=x³+ax²=x²（x+a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=-a，
可以得到圖象與x軸交點(diǎn)為（0，0），（-a，0），由圖得知a＜0．
故對(duì)-f（x）從0到-a求定積分即為所求面積，即：
-∫₀^-af（x）dx=3，
將 f（x）=x³+ax²代入得：
∫₀^-a（-x³-ax²）dx=3，
求解，得a=-$\sqrt{6}$．
故答案為：-$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 將函數(shù)圖象，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及定積分的計(jì)算有機(jī)結(jié)合起來，考查了學(xué)生的綜合能力