Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-3ax，其中a為實(shí)數(shù)，若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，則a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{e}{3}$，+∞）
• B． [$\frac{e}{3}$，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，分離參數(shù)a，問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{1}{x}$在（1，+∞）恒成立，求出a的范圍；求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為y=3a和y=e^x在（1，+∞）有解，求出a的范圍，取交集即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
則f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{1}{x}$在（1，+∞）恒成立，
故a≥1；
g（x）=e^x-3ax，g′（x）=e^x-3a，
若g（x）在（1，+∞）上有最小值，
則g（x）在（1，+∞）先遞減再遞增，
故y=3a和y=e^x在（1，+∞）有解，
而y=e^x＞e，
故3a＞e，a＞$\frac{e}{3}$，
綜上，a≥1，
故選：D．

點(diǎn)評 正確把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化、熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等是解題的關(guān)鍵．