Question

9．已知f（x）=e^x（x²+x+1），定義f₁（x）=f'（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N．經(jīng)計算：f₁（x）=e^x（x²+3x+2）；f₂（x）=e^x（x²+5x+5）；f₃（x）=e^x（x²+7x+10），…照此規(guī)律，則f_n（x）=f_n（x）=e^x[x²+（2n+1）x+n²+1]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，x的系數(shù)成等差數(shù)列，規(guī)律為2n+1，常數(shù)項為n²+1，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f₁（x）=e^x（x²+3x+2）；f₂（x）=e^x（x²+5x+5）；f₃（x）=e^x（x²+7x+10），…，
∴照此規(guī)律，f_n（x）=e^x[x²+（2n+1）x+n²+1]，
故答案為f_n（x）=e^x[x²+（2n+1）x+n²+1]．

點評 本題考查了導數(shù)的運算法則和歸納推理的問題，屬于中檔題．