Question

9．設(shè)曲線$y=\frac{1}{x}$在點(diǎn)（1，1）處的切線與曲線y=e^x在點(diǎn)P處的切線垂直，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）．

Answer 1

分析 求出曲線$y=\frac{1}{x}$在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率，求出函數(shù)y=e^x的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出P的坐標(biāo)（x₀，y₀），得到曲線y=e^x在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)，由兩直線垂直與斜率的關(guān)系求得x₀，進(jìn)一步求得P的坐標(biāo)．

解答 解：由$y=\frac{1}{x}$，得$y′=-\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴y′|_x=1=-1，
由y=e^x，得y′=e^x，設(shè)P（x₀，y₀），
則$y′{|}_{x={x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}$，
由題意可得：${e}^{{x}_{0}}=1$，∴x₀=0．
∴y=e⁰=1．
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．
故答案為：（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題．