Question

19．設(shè)命題p：?x∈[-1，1]，${x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+2＞a$．命題q：?x∈[-1，1]，${x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+2＞a$．如果命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題．則p，q一真一假，進(jìn)而得到答案．

解答 解：$f（x）={x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+2⇒f'（x）=3{x^2}-3x=0$，
解得x₁=0，x₂=1，
列表得：

x	x=-1	（-1，0）	x=0	（0，1）	x=1
f'（x）		+		-
f（x）	$-\frac{1}{2}$	↑	2	↓	$\frac{3}{2}$

故f（x）有最大值2；最小值$-\frac{1}{2}$（6分）
則命題p：成立得a＜2；
命題q：成立得$a＜-\frac{1}{2}$
由命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題．則p，q一真一假
若p真q假，則$-\frac{1}{2}≤a＜2$；
若q真p假，則a∈ϕ
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為$-\frac{1}{2}≤a＜2$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，難度中檔．