Question

12．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=1，點(diǎn)M是SD的重點(diǎn)，AN⊥SC，且交SC于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求證：直線SC⊥平面AMN；
（Ⅱ）求點(diǎn)N到平面ACM的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用線面垂直的判定定理可得：DC⊥平面SAD，AM⊥DC，又AM⊥SD，可得AM⊥平面SDC，SC⊥AM，即可證明．
（Ⅱ）利用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)N到平面ACM的距離．

解答 （Ⅰ）證明：∵DC⊥SA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面SAD，
∴AM⊥DC，
又∵SA=AD，M是SD的中點(diǎn)，
∴AM⊥SD，
∴AM⊥平面SDC，
∴SC⊥AM，
∵SC⊥AN，
∴SC⊥平面AMN．
（Ⅱ）解：V_M-ANC=$\frac{1}{2}{V}_{D-ANC}$=$\frac{1}{2}{V}_{N-ACD}$=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{V}_{S-ACD}$=$（\frac{1}{3}）^{2}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{18}$，
MA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC=$\sqrt{2}$，MC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，∴S_△AMC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_N-ACM=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}h=\frac{1}{18}$，∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．
∴點(diǎn)N到平面ACM的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定性質(zhì)定理，考查等體積轉(zhuǎn)化，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．