【題目】已知,函數(shù).
(1)求證:曲線在點(diǎn)處的切線過定點(diǎn);
(2)若是在區(qū)間上的極大值,但不是最大值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求證:對(duì)任意給定的正數(shù) ,總存在,使得在上為單調(diào)函數(shù).
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線方程,切線恒過定點(diǎn)即與參數(shù)無(wú)關(guān),令系數(shù)為,可得定點(diǎn)坐標(biāo);(2),要使成為極大值,因此,又不是最大值,而在單增,單減,單增,因此,可求得的范圍;(3)在單增,單減,單增,又,所以要使在單調(diào),只需,即,故存在.
試題解析:解:(1)證明:∵,∴
∵,∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為,
即,令,則,
故曲線在點(diǎn)處的切線過定點(diǎn)
(2)解:,
令得或
∵是在區(qū)間上的極大值,∴,∴
令,得或遞增;令,得遞減,
∵不是在區(qū)間上的最大值,
∴在區(qū)間上的最大值為,
∴,∴,又,∴
(3)證明:,
∵,∴
令,得或遞增;令,得遞減,
∵,∴
若在上為單調(diào)函數(shù),則,即
故對(duì)任意給定的正數(shù),總存在(其中),使得在上為單調(diào)函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)某電子商務(wù)平臺(tái)的調(diào)查統(tǒng)計(jì)顯示,參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購(gòu)物者的年齡情況如圖.
(1)已知、,三個(gè)年齡段的上網(wǎng)購(gòu)物者人數(shù)成等差數(shù)列,求,的值;
(2)該電子商務(wù)平臺(tái)將年齡在之間的人群定義為高消費(fèi)人群,其他的年齡段定義為潛在消費(fèi)人群,為了鼓勵(lì)潛在消費(fèi)人群的消費(fèi),該平臺(tái)決定發(fā)放代金券,高消費(fèi)人群每人發(fā)放50元的代金券,潛在消費(fèi)人群每人發(fā)放80元的代金券.已經(jīng)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購(gòu)物者中抽取了10人,現(xiàn)在要在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行回訪,求此三人獲得代金券總和的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)上是世界嚴(yán)重缺水的國(guó)家,城市缺水問題較為突出,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸),用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超過的部分按議價(jià)收費(fèi),為了了解全市民月用水量的分布情況,通過抽樣,獲得了100位居民某年的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照, ,…, 分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中 的值;
(Ⅱ)已知該市有80萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值,并說(shuō)明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若曲線在點(diǎn)處與直線相切,求的值;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,試判斷的符號(hào),并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若和在區(qū)間上具有時(shí)間的單調(diào)性,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,且函數(shù)的最小值為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意的,都有,數(shù)列滿足, .
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第十二屆全國(guó)人民代表大會(huì)第五次會(huì)議和政協(xié)第十二屆全國(guó)委員會(huì)第五次會(huì)議(簡(jiǎn)稱兩會(huì))分別于2017年3月5日和3月3日在北京開幕,某高校學(xué)生會(huì)為了解該校學(xué)生對(duì)全國(guó)兩會(huì)的關(guān)注情況,隨機(jī)調(diào)查了該校200名學(xué)生,并將這200名學(xué)生分為對(duì)兩會(huì)“比較關(guān)注”與“不太關(guān)注”兩類,已知這200名學(xué)生中男生比女生多20人,對(duì)兩會(huì)“比較關(guān)注”的學(xué)生中男生人數(shù)比女生人數(shù)之比為,對(duì)兩會(huì)“不太關(guān)注”的學(xué)生中男生比女生少5人.
(Ⅰ)根據(jù)題意建立的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為男生與女生對(duì)兩會(huì)的關(guān)注有差異?
(Ⅱ)該校學(xué)生會(huì)從對(duì)兩會(huì)“比較關(guān)注”的學(xué)生中根據(jù)性別進(jìn)行分層抽樣,從中抽取7人,再?gòu)倪@7人中隨機(jī)選出2人參與兩會(huì)宣傳活動(dòng),求這2人全是男生的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的單調(diào)遞減函數(shù),對(duì)任意都有, .
(Ⅰ)判斷函數(shù)的奇偶性,并證明之;
(Ⅱ)若對(duì)任意,不等式(為常實(shí)數(shù))都成立,求的取值范圍;(Ⅲ)設(shè), , , , .
若 , ,比較的大小并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為是, , .
(Ⅰ)求邊上的高所在的直線方程;
(Ⅱ)求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.
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