Question

6．若函數(shù)f（x）滿足f（x）=x（f′（x）-lnx），且f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，則ef（e^x）＜f′（$\frac{1}{e}$）+1的解集是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-1，+∞）
• C． （0，$\frac{1}{e}$）
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 將函數(shù)整理得（$\frac{f（x）}{x}$）′=$\frac{lnx}{x}$，兩邊積分，求得函數(shù)的解析式，求導，求得函數(shù)的單調性及f′（$\frac{1}{e}$），則不等式轉化成f（e^x）＜$\frac{1}{e}$=f（$\frac{1}{e}$）=f（e^-1），利用函數(shù)的單調性即可求得不等式的解集．

解答 解：由f（x）=x（f′（x）-lnx），整理得xf′（x）-f（x）=xlnx，即（$\frac{f（x）}{x}$）′=$\frac{lnx}{x}$，
兩邊積分$∫（\frac{f（x）}{x}）dx$=$∫\frac{ln}{x}dx$=∫lnxd（lnx）=$\frac{1}{2}$ln²x+C，
整理得：f（x）=$\frac{x}{2}$ln²x+Cx，
f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，代入求得c=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{x}{2}$ln²x+$\frac{1}{2}$x，
f′（x）=$\frac{1}{2}$ln²x+lnx+$\frac{1}{2}$，令lnx=t，t∈R，
∴f′（t）=$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+1）²≥0，
∴f（x）單調遞增，
由f（x）=x（f′（x）-lnx），f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，
f′（$\frac{1}{e}$）=0，
由ef（e^x）＜f′（$\frac{1}{e}$）+1，整理得：f（e^x）＜$\frac{1}{e}$=f（$\frac{1}{e}$）=f（e^-1），
由函數(shù)單調性遞增，即e^x＜e^-1，
由y=e^x，單調遞增，則x＜-1，
∴不等式的解集（-∞，-1），
故選A．

點評 本題考查求函數(shù)的解析式，不等式的解法，考查求函數(shù)的不定積分的應用，考查轉換思想，屬于難題．