Question

1．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相同的單位長度，已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos²θ=2sinθ．
（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，求|PM|的值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)t得直線l的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化方法求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求出M，P的直角坐標(biāo)，即可求|PM|的值．

解答 解：（1）因?yàn)橹本�的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t得直線l的普通方程為x-y+3=0…（2分）
由曲線C的極坐標(biāo)方程ρcos²θ=2sinθ，
得ρ²cos²θ=2ρsinθ，…（3分）
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²=2y．…（5分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=x+3\\{x^2}=2y\end{array}\right.$，消去y得x²-2x-6=0…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB的中點(diǎn)$M（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$．
因?yàn)?nbsp;x₁+x₂=2，∴M（1，4）…（8分）
又點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，1），…（9分）
所以$|{PM}|=\sqrt{{{（1-1）}^2}+{{（4-1）}^2}}=3$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．