分析 由新定義,可以求出函數(shù)的解析式,進(jìn)而求出x的方程為f(x)=m(m∈R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍,及三個(gè)實(shí)根之間的關(guān)系,進(jìn)而求出x1•x2•x3的取值范圍.
解答 解:由2x-1≤x-1,得x≤0,此時(shí)f(x)=(2x-1)*(x-1)=-(2x-1)2+2(2x-1)(x-1)-1=-2x,
由2x-1>x-1,得x>0,此時(shí)f(x)=(2x-1)*(x-1)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x2+x,
∴f(x)=(2x-1)⊕(x-1)=$\left\{\begin{array}{l}{-2x,x≤0}\\{{-x}^{2}+x,x>0}\end{array}\right.$,
作出函數(shù)的圖象可得,
要使方程f(x)=m(m∈R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,不妨設(shè)x1<x2<x3,
則0<x2<$\frac{1}{2}$<x3<1,且x2和x3,關(guān)于x=$\frac{1}{2}$對(duì)稱,
∴x2+x3=2×$\frac{1}{2}$=1.則x2+x3≥2$\sqrt{{{x}_{2}x}_{3}}$,0<x2x3<$\frac{1}{4}$,等號(hào)取不到.
當(dāng)-2x=$\frac{1}{4}$時(shí),解得x=-$\frac{1}{8}$,
∴-$\frac{1}{8}$<x1<0,
∵0<x2x3<$\frac{1}{4}$,
∴-$\frac{1}{32}$<x1•x2•x3<0,
即x1•x2•x3的取值范圍是(-$\frac{1}{32}$,0),
故答案為:(-$\frac{1}{32}$,0).
點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,根據(jù)已知新定義,求出函數(shù)的解析式,并分析出函數(shù)圖象是解答的關(guān)鍵.
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