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已知函數，，．
（1）若，試判斷并用定義證明函數的單調性；
（2）當時，求證函數存在反函數．
（1）增函數；（2）參考解析

試題分析：（1）當時，，.通過函數的單調性的定義可證得函數，單調遞增.
（2）由，所以將x的區(qū)間分為兩類即和.所以函數.由（1）可得函數是遞增函數.應用單調性的定義同樣可得函數是遞增.根據反函數的定義可得函數存在反函數.
試題解析：(1)判斷：若，函數在上是增函數.
證明：當時，，
在上是增函數.2分
在區(qū)間上任取，設，

所以，即在上是增函數.6分
(2)因為，所以8分
當時，在上是增函數，9分
證明：當時，在上是增函數（過程略）11分
在在上也是增函數，當時，上是增函數12分
所以任意一個，均能找到唯一的和它對應，
所以時，存在反函數14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數．
（1）當時，判斷在的單調性，并用定義證明；
（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；
（3）討論零點的個數．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數,曲線在點處切線方程為.
(1)求的值；
(2)討論的單調性,并求的極小值。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數的定義域為.
（1）求函數在上的最小值；
（2）對，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

對于函數（）．
（1）探索并證明函數的單調性；
（2）是否存在實數使函數為奇函數？若有，求出實數的值，并證明你的結論；若沒有，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，某小區(qū)有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數）的圖象，且點M到邊OA距離為．
（1）當時，求直路所在的直線方程；
（2）當t為何值時，地塊OABC在直路不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，一矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，則小正方形的邊長為            時，盒子容積最大？。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若在區(qū)間(-∞，1]上遞減，則a的取值范圍為(    )
A．[1，2)
B．[1，2]
C．[1,+∞)
D．[2，+∞)

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知定義域為(0，+)，為的導函數，且滿足，則不等式的解集是(   )
A．(0，1)B．(1，+)C．(1，2)D．(2，+)

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