Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin xcos x+cos²x+a；則f（x）的最小正周期為π，若f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值與最小值的和為$\frac{3}{2}$，則實數(shù)a的值為0．

Answer 1

分析 利用兩角和與差的正弦函數(shù)可求得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a，從而可求f（x）的最小正周期；由-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$⇒-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$⇒-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，從而可求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域為[a，a+$\frac{3}{2}$]，繼而依題意可求a的值．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sin xcos x+cos²x+a=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a，
∴其最小正周期T=π；
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴a≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a≤$\frac{3}{2}$+a，即f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域為[a，a+$\frac{3}{2}$]，
又f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值與最小值的和為$\frac{3}{2}$，
∴a+a+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=0．
故答案是：π；0．

點評 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性與閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．