Question

9．已知函數(shù)f（x）=x-ae^x，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的方程；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-e^x，f'（x）=1-e^x．切線的斜率k=f'（0）=0，切點(diǎn)（0，f（0）），即可求得切線方程．
（Ⅱ）由f（x）=x-ae^x，得f'（x）=1-ae^x．分a≤0，a＞求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合圖象求解．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-e^x，f'（x）=1-e^x．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，又f'（0）=0，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=-1．…（4分）
（Ⅱ）由f（x）=x-ae^x，得f'（x）=1-ae^x．
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）在R上單調(diào)遞增．
當(dāng)x=a時(shí)，f（a）=a-ae^a=a（1-e^a）≤0，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=1-ae＞0，
所以當(dāng)a≤0時(shí)，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；       …（8分）
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x=-lna．f（x）與f'（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上的情況如下：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

若曲線y=f（x）與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
則有f（-lna）=0，即-lna-a e^-lna=0．解得$a=\frac{1}{e}$．
綜上所述，當(dāng)a≤0或$a=\frac{1}{e}$時(shí)，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，函數(shù)圖象與橫軸交點(diǎn)問題．屬于中檔題．