Question

1．“遠(yuǎn)望嵬嵬塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾碗燈？”源自明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，
（1）通過(guò)計(jì)算可得尖頭幾碗？
（2）若設(shè)每層燈碗數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{a_n}（n∈n*），求數(shù)列{n•a_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）每層的燈數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列{a_n}，公比為2．S₇=381．利用求和公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=3×2^n-1．na_n=3n•2^n-1．再利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）每層的燈數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列{a_n}，公比為2．S₇=381．
∴381=$\frac{{a}_{1}（{2}^{7}-1）}{2-1}$，解得a₁=3．
（2）由（1）可得：a_n=3×2^n-1．
na_n=3n•2^n-1．
∴數(shù)列{n•a_n}前n項(xiàng)和T_n=3[1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1]，
2T_n=3[2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n•2ⁿ]，
∴-T_n=3[1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ]=3$[\frac{{2}^{n}-1}{2-1}-n•{2}^{n}]$，
∴T_n=3（n-1）•3•2ⁿ+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考査了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．