Question

18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足$\frac{\sqrt{3}c}{cosC}$=$\frac{a}{cos（\frac{3π}{2}+A）}$．
（I）求C的值；
（II）若$\frac{c}{a}$=2，b=4$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）利用誘導(dǎo)公式，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式可得tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解C的值．
（II）由余弦定理可求a的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（I）∵$\frac{\sqrt{3}c}{cosC}$=$\frac{a}{cos（\frac{3π}{2}+A）}$．
∴$\frac{\sqrt{3}c}{cosC}$=$\frac{a}{sinA}$，由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}sinC}{cosC}=\frac{sinA}{sinA}$，可得：tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴C=$\frac{π}{6}$．
（II）∵C=$\frac{π}{6}$，$\frac{c}{a}$=2，b=4$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：（2a）²=a²+（4$\sqrt{3}$）²-2×$a×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
整理可得：a²+4a-16=0，解得：a=2$\sqrt{5}$-2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$（2$\sqrt{5}$-2）×$4\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{15}$-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了誘導(dǎo)公式，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，特殊角的三角函數(shù)值，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．