Question

7．已知函數(shù)f（x）=xe^x-lnx（ln2≈-0.693，$\sqrt{e}$≈1.648，均為不足近似值）
（1）當(dāng)x≥1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2＞證明：當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＞$\frac{27}{20}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符合，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）對(duì)f（x）=xe^x-lnx求導(dǎo)得f′（x）=（x+1）e^x-$\frac{1}{x}$，
∵x≥1時(shí)，（x+1）e^x≥2e，$\frac{1}{x}$≤1，
∴f′（x）≥2e-1＞0，
∴f（x）在[1，+∞）遞增；
（2）證明：∵f′（$\frac{1}{4}$）=1.25${e}^{\frac{1}{4}}$-4＜1.25×2-4＜0，
f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$$\sqrt{e}$-2＞$\frac{3}{2}$×1.648-2=0.472＞0，
又f′（x）在（0，+∞）遞增，
∴f′（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一1個(gè)零點(diǎn)x₀，
且（x₀+1）${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴x=x₀是f（x）在（0，+∞）上唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值值點(diǎn)，
∴f（x）≥f（x₀）=x₀${e}^{{x}_{0}}$-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}+1}$-lnx₀，$\frac{1}{4}$＜x₀＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]遞減，
∴f（x₀）≥f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{3}$+ln2＞$\frac{2}{3}$+0.693＞1.369＞$\frac{27}{20}$，
∴f（x）＞$\frac{27}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．