Question

15．已知橢圓C的中心為原點O，焦點在x軸上，且經(jīng)過點${A_1}（-2，0），{A_2}（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過拋物線y²=4x的焦點F的直線l與橢圓C交于不同兩點M，N，且滿足$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓方程，將A₁及A₂代入即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）方法一：設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓方程，利用韋達定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可求得m的值，求得直線l的方程；
方法二：當(dāng)直線l的斜率不存在時，不滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得M，N的橫縱坐標(biāo)的乘積，結(jié)合$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，求得k值得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
則a=2，將A₂（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入$\frac{2}{4}+\frac{1}{2^{2}}=1$，則b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）方法一：拋物線y²=4x的焦點F（1，0），
設(shè)直線l的方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，則x₁x₂+y₁y₂=0（*），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x，得得（m²+4）y²+2my-3=0，△=16m²+48＞0
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$，①
x₁x₂=（1+my₁）（1+my₂）=1+m（y₁+y₂）+m²y₁y₂；
=1+m×（-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$）+m²（-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$），
=$\frac{4-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$，②（9分）
將①②代入（*）式，得$\frac{4-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$+（-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$）=0，
解得m=±$\frac{1}{2}$，
存在直線l滿足條件，且直線l的方程為2x-y-2=0或2x+y-2=0．
方法二：當(dāng)直線l的斜率不存在時，不滿足題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y=k（x-1），
與C₁的交點為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，
于是x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．①
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=k²[$\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+1]=-$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．②
由$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0（*），
將①②代入③式，得$\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$+（-$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）=$\frac{{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=0，
解得k=±2，
∴存在直線l滿足條件，且直線l的方程為2x-y-2=0或2x+y-2=0．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．