Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求證：函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)；

（3）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）極小值為；無極大值（2）證明過程見解析；（3）.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用極值定義求出函數(shù)的極值；

（2）利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)性和最大值，然后分類討論在不同單調(diào)區(qū)間上函數(shù)存在零點(diǎn)，最后能證明出函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)；

（3）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出的值域，然后能求出實(shí)數(shù)的最大值.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此是函數(shù)的極小值，故函數(shù)的極值為極小值，值為；無極大值

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>所以，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)是遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是遞增函數(shù)，

所以函數(shù)的最大值為： ，

因?yàn)?/span>，所以，因此有，

因?yàn)?/span>，所以，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)；

因?yàn)?/span>，所以，，故函數(shù)在時(shí)，必有唯一的零點(diǎn)，因此函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)；

（3）設(shè)，，

，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，即

當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，因此有，即當(dāng)時(shí)，恒成立；

當(dāng)時(shí)，所以存在，使得，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以此時(shí)，顯然對(duì)于當(dāng)時(shí)，不恒成立，綜上所述，，所以實(shí)數(shù)的最大值為.