Question

12．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足以下三個條件：①對于任意的x∈R，都有f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$；②函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于y軸對稱；③對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），則$f（\frac{3}{2}）$，f（2），f（3）從小到大的關(guān)系是（　　）

• A． $f（\frac{3}{2}）＜f（2）＜f（3）$
• B． $f（3）＜f（2）＜f（\frac{3}{2}）$
• C． $f（3）＜f（\frac{3}{2}）＜f（2）$
• D． $f（\frac{3}{2}）＜f（3）＜f（2）$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)y=f（x）滿足的三個條件，求出f（x）具有的性質(zhì)．即可判斷$f（\frac{3}{2}）$，f（2），f（3）的小大關(guān)系．

解答 解：函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，可得f（x）是周期為2的函數(shù)；
函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于y軸對稱，可得f（-x+1）=f（x+1），
可得函數(shù)f（x）的一條對稱軸為1；
對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），
可知函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上是減函數(shù)，
因此：$f（\frac{3}{2}）$=f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），f（2）=f（0），f（3）=f（1），
∵函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上是減函數(shù)，
∴f（1）＜f（$\frac{1}{2}$）＜（0），即$f（3）＜f（\frac{3}{2}）＜f（2）$．
故選C．

點評 本題考查了函數(shù)的周期的計算．對稱軸和單調(diào)性綜合性質(zhì)的運用．屬于中檔題．