Question

3．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短軸長為4，焦距為2．
（1）求C的方程；
（2）過橢圓C的左焦點F₁作傾斜角為45°的直線l，直線l與橢圓相交于A、B兩點，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短軸長為4，焦距為2．可得a，b；
（2）過F₁傾斜角為45°的直線l：y=x+1．
把y=x+1．代入圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．得7x²+8x-8=0，
由韋達定理及弦長公式可計算AB．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短軸長為4，焦距為2．∴b=2，c=1，a=$\sqrt{5}$，
橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）由（1）得橢圓C的左焦點F₁（-1，0），過F₁傾斜角為45°的直線l：y=x+1．
把y=x+1．代入圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．得9x²+10x-15=0，
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），x₁+x₂=-$\frac{10}{9}$，x₁x₂=-$\frac{15}{9}$，
AB=$\sqrt{1+{1}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{8\sqrt{10}}{9}$

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關系，及弦長公式，屬于基礎題．