Question

16．設(shè)a，b，c＞0，則$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$（　�。�

• A． 都不大于2
• B． 都不小于2
• C． 至少有一個(gè)不大于2
• D． 至少有一個(gè)不小于2

Answer 1

分析 三個(gè)數(shù)中$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$至少有一個(gè)不小于2．利用反證法與基本不等式的性質(zhì)即可證明．

解答 解：三個(gè)數(shù)中$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$至少有一個(gè)不小于2．下面利用反證法證明：
a，b，c都是正數(shù)，假設(shè)三個(gè)數(shù)$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2．
則6＞a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$=a+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c≥$2\sqrt{a•\frac{1}{a}}$+2$\sqrt{b•\frac{1}}$+2$\sqrt{c•\frac{1}{c}}$=6，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)取等號．
即6＞6，矛盾，
因此假設(shè)不成立，
∴三個(gè)數(shù)$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一個(gè)不小于2．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了反證法與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．