Question

4．已知直線l：y=k（x-1）交x軸于點A，交y軸于點B，交直線y=x于點C，
（1）若k=3，求$\frac{{|{BC}|}}{{|{AC}|}}$的值；
（2）若|BC|=2|AC|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出A，B，C的坐標，即可求$\frac{{|{BC}|}}{{|{AC}|}}$的值；
（2）直線l的方程為y=k（x-1），若|BC|=2|AC|，則|x_B-x_C|=2|x_A-x_C|，求出k，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）直線l的方程為y=3（x-1）．
令y=0，得A（1，0）．…（1分），令x=0，得B（0，-3）．…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ y=3（{x-1}）\end{array}\right.$得${x_C}=\frac{3}{2}$…（3分）
$\frac{{|{BC}|}}{{|{AC}|}}=\frac{{|{{x_B}-{x_C}}|}}{{|{{x_A}-{x_C}}|}}=\frac{{|{\frac{3}{2}}|}}{{|{\frac{1}{2}}|}}=3$…（5分）
（2）直線l的方程為y=k（x-1）．
令y=0，得A（1，0）．令x=0，得B（0，-k）．…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ y=k（{x-1}）\end{array}\right.$得${x_C}=\frac{k}{k-1}$…（7分）
若|BC|=2|AC|，則|x_B-x_C|=2|x_A-x_C|…（8分）
∴$|{\frac{k}{k-1}}|=2|{1-\frac{k}{k-1}}|$…（9分）
∴解得k=±2…（11分）
∴所求直線l的方程為：2x-y-2=0或2x+y-2=0．…（12分）

點評 本題考查直線方程，考查直線與直線位置關(guān)系的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．