Question

20．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點為F₁、F₂，其中一條漸近線方程為y=3x，過點F₂作x軸的垂線與雙曲線的一個交點為M，若△MF₁F₂的面積為18$\sqrt{10}$，則雙曲線的方程為（　�。�

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{18}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{18}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的漸近線方程，求得b=3a，求得M點坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，及雙曲線的性質(zhì)，即可求得a和b的值，即可求得雙曲線方程．

解答 解：由雙曲線的焦點在x軸上，雙曲線的漸近線方程y=$\frac{a}$x，則b=3a，①
假設(shè)M在第一象限，則M（c，$\frac{^{2}}{a}$），
則△MF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$×2c×$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{^{2}c}{a}$，
即$\frac{^{2}c}{a}$=18$\sqrt{10}$，②
則c²=a²-b²，③
解得：a²=2，b²=18，c²=20，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{18}=1$，
故選C．

點評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．