Question

10．已知{a_n}是各項為正數(shù)的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，且4S_n=（a_n+1）²．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值及{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列$\{{S_n}-\frac{7}{2}{a_n}\}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于4S_n=（a_n+1）²．令n=1，可求得a₁，再令n=2，即可求得a₂的值，從而可得正項等差數(shù)列{a_n}的公差，繼而可求得其通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，于是可求得其前n項和S_n=n²，故${S}_{n}-\frac{7}{2}{a}_{n}$=${（n-\frac{7}{2}）}^{2}-\frac{35}{4}$，從而可求得數(shù)列$\{{S_n}-\frac{7}{2}{a_n}\}$的最小值．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）因為$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$，
所以，當(dāng)n=1時，$4{a_1}={（{a_1}+1）^2}$，解得a₁=1，
當(dāng)n=2時，$4（1+{a_2}）={（{a_2}+1）^2}$，解得a₂=-1或a₂=3，
因為{a_n}是各項為正數(shù)的等差數(shù)列，所以a₂=3，
所以{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
所以{a_n}的通項公式a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（Ⅱ）因為$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$，所以${S_n}=\frac{{{{（2n-1+1）}^2}}}{4}={n^2}$，
所以${S_n}-\frac{7}{2}{a_n}={n^2}-\frac{7}{2}（2n-1）$=${n^2}-7n+\frac{7}{2}$=${（n-\frac{7}{2}）^2}-\frac{35}{4}$，
所以，當(dāng)n=3或n=4時，${S_n}-\frac{7}{2}{a_n}$取得最小值$-\frac{17}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的通項公式及二次函數(shù)的配方法求最值，屬于中檔題．