Question

14．設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+1）的定義域為R；命題q：當(dāng)$x∈[\frac{1}{2}，\;2]$時，$x+\frac{1}{x}＞a$恒成立，如果命題“p∧q”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（1，2）．

Answer 1

分析 對于命題p：a≤0時，函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+1）的定義域不為R．由函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+1）的定義域為R，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a范圍．對于命題q：當(dāng)$x∈[\frac{1}{2}，\;2]$時，利用基本不等式的性質(zhì)可得：x+$\frac{1}{x}$≥2，根據(jù)$x+\frac{1}{x}＞a$恒成立，可得a的求值范圍．如果命題“p∧q”為真命題，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：對于命題p：a≤0時，函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+1）的定義域不為R．
由函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+1）的定義域為R，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞1．
對于命題q：當(dāng)$x∈[\frac{1}{2}，\;2]$時，x+$\frac{1}{x}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號．由當(dāng)$x∈[\frac{1}{2}，\;2]$時，$x+\frac{1}{x}＞a$恒成立，
∴a＜2．
如果命題“p∧q”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是1＜a＜2．
故答案為：（1，2）．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．